【簡介：】燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖△ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上點(diǎn)，滿足AD、BE、CF 交于同一點(diǎn)O）。
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S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BD
燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖△ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上點(diǎn)，滿足AD、BE、CF 交于同一點(diǎn)O）。
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S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
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證法1
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下面的是第一種方法：利用分比性質(zhì)(若a/b=c/d，則（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0，d≠0,）[2]
(注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,
(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,
a/b=c/d
∴（a-b）/b=（c-d）/d
∵△ABD與△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性質(zhì)，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命題得證。
證法2
下面的是第二種方法：相似三角形法
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??證法1圖
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長BO，交AC于點(diǎn)E。
求證：AE=CE 證明：
如圖，過點(diǎn)O作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N；
過點(diǎn)O作PQ∥AB，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q。
∵M(jìn)N∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一條中線
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一條中線
∴AF=BF
∴PO=QO
∵M(jìn)O=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行）
∴△BMR∽△BAE（R為MP與BO的交點(diǎn)），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵M(jìn)N∥BC，PQ∥AB
∴四邊形BMOP是平行四邊形
∴MR=PR（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）
∴AE=CE
命題得證。
證法3
下面的是第三種方法：面積法
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長BO，交AC于點(diǎn)E。
求證：AE=CE
證明：
如圖，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（綠） = S△AOB（紅）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（綠） = S△BOC（藍(lán)）
∴S△AOB（紅） = S△BOC（藍(lán)）
∵S△AOE:S△AOB（紅） = OE:OB，S△COE:S△BOC（藍(lán)） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（紅） = S△COE:S△BOC（藍(lán)）
∵S△AOB（紅） = S△BOC（藍(lán)）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命題得證。
證法4
下面的是第四種方法：中位線法
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長BO，交AC于點(diǎn)E。
求證：AE=CE
證明：
如圖，延長OE到點(diǎn)G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)
又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴OD是△BGC的一條中位線
∴AD∥CG（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）
∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)
∴OF是△BGA的一條中位線
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四邊形AOCG是平行四邊形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命題得證。
證法5：因?yàn)锳BCO是凹四邊形，根據(jù)共邊比例定理，命題得證
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推廣：共邊比例定理
四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設(shè)AC,BD相交于E
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則有BE ：DE=S△ABC ：S△ADC
此定理是面積法最重要的定理
